Tổng hợp kỹ năng và kiến thức cần cố gắng vững, những dạng bài tập và thắc mắc có kĩ năng xuất hiện tại trong đề thi HK1 Toán học tập 11 sắp tới
PHẦN 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số tuần hoàn
Hàm số (f(x)) khẳng định trên tập hòa hợp (D) hotline là tuần hoàn nếu như tồn tại một trong những dương (T) làm thế nào cho với phần lớn (x in D) ta có:
+) (x - T in D) với (x + T in D)
+) (f(x + T) = f(x))
Số nhỏ tuổi nhất (nếu có) trong các số (T) có các tính chất trên hotline là chu kì của hàm tuần hoàn (f(x))
2. Những hàm con số giác
a) Hàm số (y = sin x)
+ TXĐ: (D = mathbbR)
+ Tập giá trị ( m< - 1;1>)
+ Hàm số (y = sin x) là hàm số lẻ bên trên (mathbbR).
Bạn đang đọc: Hệ thống kiến thức toán lớp 11
+ Hàm số (y = sin x) tuần hoàn với chu kì (2pi )
Chiều biến thiên bên trên (< - pi ;pi >)
Đồ thị:
b) Hàm số (y = cos x)
+ Hàm số (y = cos x) là hàm số chẵn bên trên (mathbbR).
+ Hàm số (y = cos x) tuần trả với chu kì (2pi ).
Chiều đổi thay thiên trên (< - pi ;pi >)
Đồ thị:
c) Hàm số (y = an x)
+ Hàm số (y = an x) là hàm số lẻ trên (mathbbRackslash left dfracpi 2 + kpi ,k in mathbbZ ight\)
+ Hàm số (y = an x) tuần trả với chu kì (pi ).
Chiều biến đổi thiên trên (left( - dfracpi 2;dfracpi 2 ight))
Đồ thị:
Chú ý: vào hệ trục toạ độ (Oxy) các đường thẳng bao gồm phương trình (x = dfracpi 2 + kpi ,k in mathbbZ) được gọi là những đường tiệm cận của trang bị thị hàm số (y = an x).
d) Hàm số (y = cot x)
+ Hàm số (y = cot x) là hàm số lẻ bên trên (mathbbRackslash left kpi ,k in mathbbZ ight\)
+ Hàm số (y = cot x) tuần trả với chu kì (pi ).
Chiều biến chuyển thiên bên trên (left( - dfracpi 2;dfracpi 2 ight))
Đồ thị:
Chú ý: vào hệ trục toạ độ (Oxy) các đường thẳng bao gồm phương trình (x = kpi ,;k in mathbbZ) được điện thoại tư vấn là những đường tiệm cận của vật dụng thị hàm số (y = cot x)
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình (sin x = m)
+ trường hợp (left| m ight| > 1) phương trình vô nghiệm.
+ giả dụ (left| m ight| le 1), khi ấy đặt (m = sin alpha ) ta được: (sin x = msinalpha Leftrightarrow left< eginarraylx = alpha + 2kpi \x = pi - alpha + 2kpi endarray ight.,k in Z)
Đặc biệt: Ta có những kết quả:
( + )sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ;)
( + )sin x = - 1 Leftrightarrow x = - dfracpi 2 + k2pi ;)
( + )sin x = 1 Leftrightarrow x = dfracpi 2 + k2pi ;)
2. Phương trình (cos x = m)
+ ví như (left| m ight| > 1) phương trình vô nghiệm.
+ nếu như (left| m ight| le 1), lúc đó đặt (m = cos alpha ) ta được: (cos x = cos alpha Leftrightarrow left< eginarraylx = alpha + 2kpi \x = - alpha + 2kpi endarray ight.,k in Z)
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
(cos x = 0 Leftrightarrow x = dfracpi 2 + kpi ;)(cos x = - 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi ;)(cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi )
3. Phương trình ( an x = m)
Phương trình luôn luôn có nghiệm (x = arctan m + kpi ).
Đặc biệt: ( an x = an alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi (k in mathbbZ))
4. Phương trình (cot x = m)
Phương trình luôn có nghiệm (x = mathop m arccot olimits m + kpi ).
Đặc biệt: (cot x = cot alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi (k in mathbbZ)).
III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
1. Phương trình số 1 đối với một hàm số lượng giác
Chuyển phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác
Đặt hàm con số giác có tác dụng ẩn phụ và đặt đk cho ẩn phụ nếu gồm (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện |t|(le) 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.
3. Phương trình hàng đầu đối với (sin x) và (cos x)
Phương trình bậc nhất đối với (sin x) với (cos x) có dạng:
(asin x + bcos x = c) (1)
Phương pháp chung:
Cách 1: (Thường sử dụng cho giải phương trình)
- cách 1: Kiểm tra đk có nghiệm của phương trình: (a^2 + b^2 ge c^2).
- bước 2: phân chia hai vế của phương trình đến (sqrt a^2 + b^2 ) thì phương trình có dạng:
(dfracasqrt a^2 + b^2 cos x + dfracbsqrt a^2 + b^2 sin x )(= dfraccsqrt a^2 + b^2 ).
- cách 3: Đặt (cos alpha = dfracasqrt a^2 + b^2 ,sin alpha = dfracbsqrt a^2 + b^2 ) thì phương trình trở nên (cos left( x - alpha ight) = dfraccsqrt a^2 + b^2 ).
- cách 4: Giải phương trình lượng giác cơ bạn dạng trên tra cứu (x).
Cách 2: (Thường dùng để giải với biện luận):
- bước 1: Xét (x = pi + k2pi Leftrightarrow dfracx2 = dfracpi 2 + kpi ) bao gồm là nghiệm tốt không.
- bước 2: Xét (x e pi + k2pi Leftrightarrow dfracx2 e dfracpi 2 + kpi ) thì để (t = an dfracx2 Rightarrow sin x = dfrac2t1 + t^2,)(cos x = dfrac1 - t^21 + t^2) ta được phương trình bậc nhị theo (t:(b + c)t^2 - 2at + c - b = 0).
- cách 3: Giải phương trình trên tìm (t Rightarrow x) và kiểm soát điều kiện, kết luận nghiệm.
Nhận xét :
Từ phương pháp giải 1 ta tất cả được hiệu quả sau:
( - sqrt a^2 + b^2 le asin x + bcos x le)( sqrt a^2 + b^2 )
Kết quả đó lưu ý cho việc về giá bán trị lớn số 1 và nhỏ tuổi nhất của các hàm số dạng (y = asin x + bcos x) hoặc (y = dfraca.sin x + b.cos xc.sin x + d.cos x) và phương thức đánh giá cho một số phương trình lượng giác.
Dạng quánh biệt: Ta có các kết quả:
(eginarray*20leginarraylsin x + cos x = 0\ Leftrightarrow x = - dfracpi 4 + kpi ,k in mathbbZendarray\eginarraylsin x - cos x = 0\ Leftrightarrow x = dfracpi 4 + kpi ,k in mathbbZendarrayendarray)
4. Phương trình phong cách đối với (sin x) cùng (cos x). Xem thêm: Ảnh Lộ Nhũ Hoa Thả Rông Vòng 1 Đẹp 100 Không Che Của Sao Việt
Phương trình dạng (a_0sin ^nx + a_1sin ^n - 1xcos x + ... )(+ a_n - 1sin xcos ^n - 1x + a_ncos ^nx = 0).
Phương pháp chung:
- bước 1: Xét (cos x = 0 Rightarrow sin x = 1), cầm cố vào phương trình coi có vừa lòng hay không.
- cách 2: Xét (cos x e 0), chia hai vế của phương trình mang lại (cos ^nx e 0) với đặt ( an x = t).
- bước 3: Giải phương trình ẩn (t) tra cứu nghiệm (t).
- cách 4: Giải phương trình ( an x = t) kiếm tìm nghiệm, kiểm tra đk và tóm lại nghiệm.
5. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với (sin x) với (cos x).
Phương trình dạng (a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0).
Phương pháp chung:
- cách 1: Đặt (sin x + cos x = t )(Rightarrow sin xcos x = dfract^2 - 12).
- cách 2: cụ vào phương trình tìm (t).
- cách 3: Giải phương trình (sin x + cos x = t)( Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + dfracpi 4 ight) = t) nhằm tìm (x).
IV. Một số dạng toán hay gặp:
Dạng 1: tìm TXĐ của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện khẳng định của những hàm phân thức, hàm căn bậc, các chất giác (tan, cot).
- Hàm số (y = sqrt fleft( x ight) ) xác định nếu (fleft( x ight) ge 0).
- Hàm số (y = dfrac1fleft( x ight)) xác định nếu (fleft( x ight) e 0).
- Hàm số (y = an uleft( x ight)) xác định nếu (cos uleft( x ight) e 0 Leftrightarrow uleft( x ight) e dfracpi 2 + kpi ).
- Hàm số (y = cot uleft( x ight)) xác minh nếu (sin uleft( x ight) e 0 Leftrightarrow uleft( x ight) e kpi ).
Dạng 2: tra cứu chu kì của hàm số.
Phương pháp:
- Hàm số (y = sin left( ax + b ight),y = cos left( ax + b ight)) tuần hoàn với chu kỳ luân hồi (T = dfrac2pi a ight).
- Hàm số (y = an left( ax + b ight),y = cot left( ax + b ight)) tuần trả với chu kỳ luân hồi (T = dfracpi left).
- Hàm số (y = f_1left( x ight),y = f_2left( x ight)) theo thứ tự có chu kỳ (T_1,T_2) thì hàm số (y= f_1left( x ight) pm f_2left( x ight)) có chu kỳ (T_0 = BCNNleft( T_1,T_2 ight))
Dạng 3: search GTLN, GTNN của hàm số lượng giác.
Phương pháp:
Sử dụng các reviews ( - 1 le sin x le 1; - 1 le cos x le 1) để review tập quý giá của hàm số.
